YRD. DOÇ. DR. SALİH ÇELİK

GLh(1|1) kuantum süper grubunun Gauss ayrışımı

Klasik grupların yeni bir genellemesi olan kuantum gruplar, çok zengin matematiksel yapılara sahiptir ve klasik grupların yeterli olmadığı durumlarda pek çok önemli rolleri vardır. Bu çalışmada, (2+2) boyutlu GL(1|1) kuantum süper grubundaki bir matrisin Gauss ayrışımı ele alınmıştır. Böylece, bir matrisin Gauss ayrışımı sırasıyla alt üçgensel, köşegen ve üst üçgensel matrislerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. İlk olarak, GLh(1|1) kuantum süper grubundaki bir matrisin Gauss ayrışımı yapılarak bu matrisin matris elemanları arasındaki bağıntılar elde edilmiştir. Daha sonra, bu yapının süper Hopf cebiri olduğu gösterilmiştir. Bu ayrışımı oluşturan matrisler sol ve sağ olarak iki kısma ayrılarak bunların matris elemanları arasındaki bağıntılar ve Hopf cebir yapıları gösterilmiştir. Sonrasında, GLh(1|1) kuantum süper grubundaki bir matrisin üstel matrisini bulmak için Gauss ayrışımı kullanılmıştır. Bu matrisin elemanları ile oluşturulmuş cebirin bir süper Lie cebiri ve aynı zamanda bir süper Hopf cebiri olduğu gösterilmiştir. Son olarak GLh(1|1) kuantum süper grubunun yapısını veren kuadratik bağıntılarını, daha kapalı bir formda yazmamıza imkan veren ve grubun asosyatifliğini garanti eden 4×4-tipinde bir R matrisi bulunmuştur. Bu R matrisi şüphesiz ki Yang-Baxter denkleminin bir çözümüdür.

Büzülme yoluyla GL_h(2|1) kuantum süper grubu

Bu çalışmada, singüler bir g matrisi ile Manin tarafından verilen (2+1)-boyutlu süper uzayın q-deformasyonu kullanılarak, onun h-deformasyonu olarak adlandıracağımız yeni bir kuantum h-süper uzay elde edilmiş ve bu uzaya etki eden tersi mevcut süper matrislerin oluşturduğu GLh(2|1) kuantum süper grubunun yapısı ortaya konmuştur. Bir T ? GLh(2|1) süper matrisinin matris elemanları arasında sağlanan komutasyon bağıntıları hesaplanmıştır. Matrisin süper tersinin matris elemanları arasında sağlanan bağıntılar, (9-9) tipinde yeni bulunan bir R matrisi yardımıyla elde edilmiştir. Kuantum süper matrisi T’nin h-süper determinantı hesaplanmıştır.GLh(2|1) süper grubun Hopf cebir yapısı elde edilmiş ve çalışma T süper matrisinin Gauss ayrışımı yapılıp, oluşan matrislerin(alt üçgensel, köşegen ve üst üçgensel), matris elemanları arasındaki bağıntılar bulunarak bitirilmiştir. Anahtar kelimeler: q-deformasyon, Gauss ayrışımı, Kuantum h-süper uzay, h-deformasyon, R matris yaklaşımı.

Z3- dereceli Rq(2/1) kuantum süper uzayinin diferansiyel geometrisi

Bu çalışmada, Rq (2/1) genişletilmiş kuantum üç boyutlu süper uzay üzerine değişmeli olmayan Z3-dereceli bir diferansiyel hesap kurulmuştur. Bu diferansiyel hesap, uzay üzerindeki koordinat fonksiyonlarını, onların diferansiyellerini, diferansiyel formları ve onların türevlerini içermektedir. Önce, Z3-dereceli kuantum uzay tanıtılmış ve ardından Z3-dereceli diferansiyel cebir kurulmuştur. Sonra, Z3-dereceli kuantum süper cebiri üzerinde yapılan hesaplamalarla koordinat fonksiyonlarının kısmi türevleri ve aralarındaki bağıntılar bulunmuştur. Bu süper uzay üzerindeki Cartan – Maurer formları tanımlanmış ve aralarındaki bağıntılar elde edilmiştir. Son olarak, vektör alanlarının Lie cebiri yapısı elde edilmiştir.

GLq,j(1/1) kuantum süper grubunun diferansiyel geometrisi

Bu tezde, boyutlu kuantum süper grubunun -dereceli diferansiyel geometrisi inşa edilmiştir. Grup üzerine diferansiyel hesap, grubun özelliklerinden çıkarılmaktadır ve o, grup üzerindeki fonksiyonları, onların diferansiyellerini, diferansiyel formları ve türevleri içermektedir. İlk olarak, süper grubu tanıtılmış ve bu grubun bir süper Hopf Cebiri olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, süper grubunun süper diferansiyel cebiri bulunmuş ve bu yapının bir sol kovaryant diferansiyel hesap olduğu gösterilmiştir. Sonrasında, bu süper grup üzerindeki Cartan-Maurer formlar tanımlanmış ve bu formların sol invaryant olduğu gözlemlenmiştir. Böylece, in geometrik şeması ortaya konmuştur. Son olarak ise, kısmi türev operatörlerinden faydalanılarak bu süper grubun kuantum süper Lie cebiri elde edilmiştir.

Kuantum vektörlerin toplanması ve diferansiyel geometrisi

Bu çalışmada, iki kuantum vektörün toplamı göz önüne alınmış ve toplam vektörün bir kuantum vektör olması için gerekli şartlar araştırılmıştır. Elde edilen yapının bir Hopf cebiri yapısına sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, bu yapının diferansiyel geometrisi kurulmuştur. Son olarak, elde edilen yapılar, uygun bir ?- matrisi verilerek, tekrar ortaya konulmuştur.