PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM

Senkronizasyon Synchronization of coupled

Senkronizasyon olgusu günlük yaşamımızın pek çok noktasında mevcuttur. Bu olguyu tanımlamak için n özdeş mekanik veya biyolojik sistemi ele aldık. Daha sonra bu sistem içinde bazı etkileşimlerin olduğunu kabul edip n çiftli özdeş sistem üzerinde çalıştık. Araştırdığımız makalelerde yalnızca lineer çiftlilerin çeşitli tipleri incelenmiştir. Biz bu çalışmada onların elde ettiği sonucu genelleyerek n çiftli özdeş lineer olmayan sistemler için senkronizasyonu ele alacağız. Bu tez aşağıdaki şekilde organize edilmiştir.1. Kısımda senkronizasyon hakkında genel bilgiler verdik. 2. Kısımda dinamik sistemler hakkında bazı tanım ve özellikleri vereceğiz. 3.Kısımda n çiftli özdeş sistemlerin global çözümleri için senkronizasyonu inceleyeceğiz. 4. Kısımda f için kesin yaklaşımlar altında yukardaki sistemin kompakt global etkileyicisinin olduğunu gösterdik. 5. Kısımda elde ettiğimiz analizleri uyguladığımız bir biyolojik model tanımladık.

Dördüncü mertebeden bazı rasyonel fark denklemlerinin çözümlerinin kararlılığı, periyodikliği ve sınırlılığı üzerine

Rasyonel fark denklemleri, pozitif bilimlerin birçok alanında bu denklemlerle karşılaşılmasından dolayı, araştırmaların yoğunlaşarak sürdüğü çok geniş bir alandır. Üzerinde çalışılması gereken oldukça çok sayıda açık problem olması bu alanı cazip hale getirmektedir. Rasyonel fark denklemlerini çözebilmek her zaman mümkün olmamakta, çözümlerinin kesin olarak belirlenebilmesi için başlangıç koşullarına ihtiyaç duyulmaktadır. Genel olarak ele alınan fark denkleminin başlangıç koşullarına göre global davranışları belirlenerek, hangi koşullar altında bu özellikleri sağladığı araştırılmaktadır. Bu tezde, başlangıç koşulları pozitif reel sayılar olmak üzere dördüncü mertebeden lineer olmayan rasyonel fark denklemlerinin bir grubunun global özellikleri incelenmiştir. Bu gruptaki denklemler iki parametreye bağlı olup, bu parametrelerin farklı değerlerine göre 10 fark denklemi üretmektedir ve incelenen denklemler başlangıç koşullarının seçimine göre farklı özellikler göstermektedir. Tezde, birinci bölümde fark denklemleri hakkında genel bir bilgi verilmiş, ikinci bölümde ise konu ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde de üretilen denklemlerin global özellikleri incelenmiştir. Bu amaçla, ele alınan denklemlerin denge noktaları belirlenmiş ve hangi başlangıç koşulları altında aşikar çözüme sahip olduğu, salınımlı olduğu ve denge noktasının global asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter koşulların neler olduğu incelenmiştir. Tezden, incelenen denklemlerin yarı dönme analizleri hakkında detaylı bir bilgiye ulaşmak mümkündür. Ek olarak, kararlılık analizi kapsamında, denklemlerin global çekici ve yerel asimptotik kararlı olmaları için gereken koşullar saptanmış ve bunların ispatlarına geniş bir şekilde yer verilmiştir. Ayrıca genel halde verilen denklemin özel bir alt grubunun aynı salınımlılık yapısına sahip olduğu tespit edilmiştir.

Cebirsel Riccati denklemlerinin nümerik çözümleri Numerical solutions of algebraic Riccati equations

Bu tez çalışmasında uygulamalı matematik ve mühendislik bilimlerinde kullanılan cebirsel Riccati denklemlerinin nümerik çözümleri incelenmiştir. Bu çalışmada verilen cebirsel Riccati denkleminin Arnoldi metodu ile çözümü incelenmiştir.

Bazı fark denklemlerinin kararlılığı, periyodikliği ve sınırlılığı üzerine

Bu çalışmanın amacı, bazı fark denklemlerinin çözümlerinin kararlılığını, periyodikliğini ve sınırlılığını incelemek ve bu konudaki çalışmalara katkıda bulunmaktır. Tez yedi bölümden oluşmaktadır. I. bölümde şu ana kadar yapılmış birtakım çalışmalar kısaca tanıtılmıştır. II. Bölümde gerekli olan bazı tanım ve teoremler verilmiştir. III. bölümde üçüncü dereceden bir fark denklem sistemi incelenmiştir. IV. bölümde ikinci dereceden bir fark denklem sistemi incelenmiştir. V. bölümde dördüncü dereceden nonlineer bir fark denklemi incelenmiştir. VI. bölümde k. dereceden bir fark denklemi incelenmiştir. VII. bölümde ise yapılan çalışmaların sonuçları kısaca özetlenmiştir.