PROF. DR. MÜNEVVER TEZER SEZGİN

Application of the boundary element method to parabolic type equations Sınır elemanlar yönteminin parabolik denklemlere uygulanışı

Bu tezde, zaman bağımlı kısmi diferansiyel denklemlerle tanımlanmış iki boyutlu başlangıç ve sınır değer problemleri, sınır elemanlar yöntemi ile çözülmüştür. Zamana bağlı temel çözümlü sınır elemanlar yöntemi, difüzyon, dalga ve konveksiyon-difüzyon denklemlerinin çözümü için etkin bir yöntem olarak sunulmuştur. Bu yöntem, denklemlerin bütününe nüfuz ederek, sınırdaki çözümü bütün zaman seviyelerine eş zamanlı olarak ilerletmektedir. Bundan sonra, içerideki bir noktada istenen çözüm, sınırda hesaplanmış değerler kullanılarak elde edilebilmektedir. Daha sonra, birbirine bağlı doğrusal olmayan reaksiyon-difüzyon denklem sistemi ve kanal içerisinde tanımlı magnetohidrodinamik akış denklemleri zaman-bölge bağımlı sınır elemanlar yöntemi ile çözülmüştür. Bu sayısal yaklaşım yöntemi, denklemler arasındaki iterasyona dayanmaktadır. Zaman-bölge bağımlı sınır elemanlar yönteminin avantajları, bu uygulamalarda büyük zaman adımları kullanılabilmesi olarak görülmektedir. Genel olarak, duvar iletkenliği değişken olan kanal içerisinde tanımlı magnetohidrodinamik akış denklemleri büyük Hartmann sayıları için başarılı bir şekilde çözülmüştür. Duvarlardaki değişken iletkenliğin, birbirine bağlı sınır koşulları üretmesi, standart sınır elemanlar yönteminin probleme uygulanışında zorluklara sebep olmaktadır. Bu nedenle, bu denklemleri bir bütün olarak çözecek yeni bir zaman-bölge bağımlı sınır elemanlar yönteminin türetilmiş olması, tezin temel katkılarından biridir. Bununla birlikte, tüm magnetohidrodinamik denklemler, stream fonksiyonu- vortisity- manyetik indüksiyon- akım yoğunluğu formunda çözülmüştür. Denklemlerdeki doğrusal olmayan konveksiyon terimleri nedeniyle, sadece sınır integralleri üreten karşılıklı sınır elemanlar yöntemine ihtiyaç duyulmuştur. Buna ek olarak, vortisity ve akım yoğunluğu için bilinmeyen sınır koşulları, karşılıklı sınır elemanlar yöntemine ait olan koordinat fonksiyonları yardımıyla türetilmiştir. Elde edilen adi diferansiyel denklemler, zaman yönünde koşulsuz kararlı Gear yöntemiyle ayrıklaştırılmıştır. Böylece büyük zaman adımları kullanılabilir. Kare kesitli kanal içerisindeki Navier-Stokes denklemleri Reynolds sayısı 2000′ e kadar çözülmüştür. Ayrıca, gerek üst kapağı hareketli gerekse geriye doğru basamaklı kanallar içerisinde tanımlı tüm magnetohidrodinamik akış denklemlerinin çözümü farklı Reynolds, manyetik Reynolds ve Hartmann değerleri için elde edilmiştir. Bu çözüm yöntemi, magnetohidrodinamik akış problemlerinin tipik özelliklerini gösteren etkin bir yöntemdir.

The dual reciprocity boundary element solution of Helmholtz-type equations in fluid dynamics Helmholtz tipindeki akışkanlar mekaniği denklemlerinin karşılıklı sınır elemanları yöntemi ile çözümü

Bu tezde, kısmi diferansiyel deklemlerle tanımlanmış iki boyutlu, zamana bağlı, katmanlı ve sıkıştırılamayan akışkan problemleri, karşılıklı sınır elemanları yöntemi ile çözülmüştür. İlk önce, deklemler homojen olmayan modifiye edilmiş Helmholtz denklemlemine dönüştürül- müş ve sonra sınır elemanları yöntemi formülasyonu modifiye edilmiş Helmholtz denkleminin temel çözümü kullanılarak elde edilmiştir. Böylece, modifiye edilmiş Helmholtz operatörü dışındaki bütün terimler sağ taraf terimi olarak değerlendirilmiştir. Bütün homojen olmayan terimler uygun radyal kökenli fonksiyonlar kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanmıştır, ve buna bağlı özel çözümler annihilatör yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Karşılıklı sınır elemanları metodu uygulamasında, zamana bağlı kısmi diferansiyel denklemlerin homojen olmayan modifiye edilmiş Helmholtz denklemlerine dönüştürülmesi, orijinal dekleme ait daha fazla bilginin kullanılma- sını sağlamıştır. Bu çalışmalar bu tezin orijinal bölümünü oluştur- maktadır. Zamana bağlı kısmi diferansiyel deklemler yerine modifiye edimiş Helmholtz deklemlerini elde etmek için, denklemin zaman türevleri ileri sonlu farklar yöntemi kullanılarak iki zaman düzeyinde açıl- mıştır. Bu yöntem ayrıca zaman türevi için farklı bir yöntem kullanma ve buna bağlı olarak sayısal kararlılık analizi yapma gereksinimini ortadan kaldırmıştır. Fiziksel akışkanlar mekaniği problemlerinin sabit elemanların kullanıldığı karşılıklı sınır ele- manları metodu uygulamasında stream fonksiyon-vortisite formülasyonu kullanılmıştır. İlk önce bu yöntem hareketli kapaklı kanal akımları için kullanılmış ve sonuçlar Reynolds sayısı 2000’e kadar elde edilmiş- tir. Enerji denkleminin Navier-Stokes denklemlerine eklenmesi ile oluşan doğal konveksiyon akım problemi, $10^3$’den $10^6$’a kadarki Rayleigh sayısıları için çözülmüştür. Daha sonra üç farklı fiziksel bölgede tanımlanmış çift difüzyonlu karışık konveksiyon problemi aynı yöntem kullanılarak çözülmüştür. Sonuçlar çeşitli Richardson ve Reynolds sayıları, ve hareketlilik oranları için verilmiştir. Bunun yanı sıra, aynı method manyetik alana maruz bırakılmış doğal konveksiyon probleminin çözümünde, vortisite taşıma ve enerji denklemlerinin her ikisi için de iki farklı radyal kökenli fonksiyonlar kullanılarak uygulanmıştır. Poisson tipi stream fonksion ve modifiye edilmiş Helmholtz tipi vortisite ve enerji denklemleri formundaki aynı problem diferansiyel kareleme yöntemi ile de çözülmüştür. Sonuçlar her iki yöntem ile Rayleigh ve Hartmann sayıları için sırasıyla $10^6$’ya ve $300$’e kadar elde edilmiştir. İki yöntemin mukayesesi elde edilen sonuçların doğruluğu ve hesaplama bedeli karşılaştırılarak yapılmıştır. Son olarak, karşılıklı sınır elemanları yöntemi, manyetik alana maruz bırakılmış, doğal konveksiyon probleminin ters çözümünde kullanılmıştır. Eksik olan sınır koşulları direkt problemin çözümlerinden elde edilmiştir.