PROF. DR. MOTİ LAL TİKU

Statistical inference from complete and incomplete data Tam ve eksik verilerden istatistiksel sonuç çıkarsama

X ve Y rassal değişkenlerinden Y’nin X’e bağlı olması gerçek hayat uygulamalarında oldukça sık karşılaşılan bir durumdur. Bu tezde böyle durumlar için X ve Y’nin marjinal dağılımlarındaki ve de X=x iken Y’nin koşullu dağılımındaki konum ve ölçek parametrelerini, ayrıca regresyon ve korelasyon katsayılarını tahmin etmek hedeflenmiştir. X=x iken bir maliyet kısıtı belirlenmiş, büyük x değerlerinin maliyeti artıracağı varsayılmıştır. Kabul edilebilir örneklem sayısı olan n’in önceden belirlenmiş bir maliyetle gözlenebileceği belirtilmiş, bu durum beraberinde bazı en büyük x değerlerinin gözlenememesi sonucunu getirmiştir (2. Tip sansürleme). Kullanılan iki genel tahmin yöntemi en küçük kareler ve en çok olabilirlik yöntemleridir. Ancak, ikinci yöntem çoğu normal olmayan dağılım için analitik ve sayısal olarak oldukça problemli sonuçlar vermekte, benzer durumlarda esasen en çok olabilirlik tahmin yöntemi kadar iyi sonuçlar veren uyarlanmış en çok olabilirlik tahmin yönteminin kullanılması uygun olmaktadır. Bu yöntemin belirgin avantajı tahmin edicilerin gözlemlerin açık fonksiyonları cinsinden ifade edilebilmesi ve böylece analitik ve sayısal olarak basitçe hesaplanabilir olmalarıdır. Bu tezde, büyüklüğü n olan rassal bir örneklem için en büyük sıralı istatistiklerin x(i) (i>n-r) (i) X’in ortalaması E(X) ve varyansı V(X) (ii) x gözlemlerini gözlemenin maliyeti (iii) koşullu ortalama E(Y|X=x) ve varyans V(Y|X=x) ve (iv) regresyon katsayısı üzerindeki etkilerini değerlendirmek amaçlanmıştır. Çok büyük x-gözlemlerinin kabul edilebilir örneklem sayısı ve en küçük kareler ve uyarlanmış en çok olabilirlik tahmin edicileri üzerinde fazlasıyla zararlı etkileri olduğu görülmüş, en büyük birkaç değişkenin kullanılmamasının faydaları değerlendirilmiştir. Dikkate alınan dağılımlar Weibull, Genelleştirilmiş Lojistik ve ölçeklendirilmiş Student-t dağılımıdır.

Adaptive estimation and hypothesis testing methods Uyarlamalı tahmin ve hipotez testi yöntemleri

Populasyon parametrelerinin istatistiksel tahmininde yaygın olarak Fisher en çok olabilirlik tahminleyicileri (MLEs) kullanılmaktadır. MLEs tutarlı, yansız ve etkinlerdir. Ancak birçok durumda hesaplamaya dayalı zorluklardan ötürü elde edilemezler. Bu zorlukları aşmak için Tiku uyarlanmış en çok olabilirlik tahminleyicileri (MMLEs) kullanılabilir. MMLEs gözlemlerin açık fonksiyonları olarak ifade edildiklerinden kolay hesaplanırlar. MMLEs asimptotik olarak MLEs’e eşit olmalarının yanında küçük örneklemlerde de eşdeğer etkinliktedirler. Ayrıca MLEs ve MMLEs sayısal olarak birbirlerine çok yakındırlar. Herikisinin de hesaplanabilmesi için dağılımın fonksiyonel formunun biliniyor olması gerekir. Ancak bu makine veri işlemesinde mümkün olmayabilir. Onun yerine esas dağılımın geniş bir dağılım ailesinin üyesi olduğunu varsaymak daha makuldür. Huber esas dağılımın uzun kuyruklu simetrik dağılım olduğunu varsaymış ve M-tahminleyicilerini geliştirmiştir. Bir tahminleyici için sağlam oluşu ve sınırlandırılmış bir etki fonksiyonuna sahip olması oldukça istenen özelliklerdir. Fakat M-tahminleyicilerinin örneklemdeki gözlemleri sansürlüyor oluşu uygulama yapanlar için sorun teşkil edebilir. Tiku ve Surucu MMLEs için bir değişiklik önermiştir. Yeni MMLEs sağlam olmalarının yanında sınırlandırılmış etki fonksiyonlarına da sahiplerdir. Bu yeni tahminleyicilerin uzun kuyruklu simetrik dağılımlar için M-tahminleyicilerine kıyasla toplamda daha etkin oldukları gözlenmiştir. Bu tez çalışmasında MMLEs için yeni bir değişiklik önerisinde bulunduk. Elde edilen tahminleyiciler sağlamdırlar ve sınırlandırılmış etki fonksiyonuna sahiplerdir. Bunun yanında yeni tahminleyicilerin yalnızca uzun kuyruklu simetrik dağılımlarda değil çarpık dağılımlarda da kullanılabileceğini gösterdik. Deneysel tasarım ve doğrusal regresyon alanlarında önerilen değişimi kullandık. Elde edilen tahminleyicilerin ve bunlar üzerine kurulmuş hipotez testi yöntemlerinin önceki benzerlerinden daha üstün olduğunu gördük.