PROF. DR. İRFAN ŞİAP

Hücresel dönüşümlerle şifreleme ve anahtar üretimi

Herhangi bir mesajı ya da bilgiyi istenmeyen kişilerden saklamak için kullanılagelen şifreleme, çağımızda özellikle elektronik ortamlarda çok fazla bilginin dolaşması ve bu bilgilerin her an ele geçirilmesi istenecek derecede önemli olmaları sebebiyle hayati bir hal almıştır. Şifrelemenin önemi arttıkça matematikçiler başta olmak üzere bilim insanları, sürekli olarak daha iyi şifreleme sistemleri geliştirmeye çalıştılar. Ancak geliştirilen sistemler ne kadar iyi olursa olsun bir şifreleme sisteminin güvenliği anahtarda gizlidir. Bunun için de anahtar üretimi ayrı bir önem arzeder. Şifrelenmiş bilgilerin ele geçirilmemesi için kullanılan anahtar kırılamamalı ya da tahmin edilememelidir. Bunu sağlayabilmek için de çeşitli yöntemler geliştirilmiş ve bu yöntemlerin gerçekten istenilen güvenilirliği sağlayıp sağlamadıklarına karar verebilecek testler öne sürülmüştür. Anahtar üretimi için kullanılan yöntemlerin bir tanesi hücresel dönüşüm olarak adlandırılan ayrık dinamik sistemlerdir. Temel olarak dört sınıfa ayrılan hücresel dönüşümlerden üçüncü sınıfı teşkil eden ve kaotik dinamik sistemlere benzeyen hücresel dönüşümler, başlangıç koşullarına oldukça duyarlı oldukları ve rastgelelikte önemli bir rol oynadıkları için anahtar üretimi için kullanılmışlardır. Bu tezde iki boyutlu melez (hibrit) hücresel dönüşümlerden anahtar üretilmeye çalışılmış, üretilen anahtarlar istatistiksel testlere tabi tutularak güvenilirlikleri ölçülmüştür. Ayrıca, literatürde ikilik sistemde verilen dizilerin güvenilirliğini ölçen testlerin istatistiksel özellikleri incelenerek bazı testlerin üçlük sistemde verilen dizilerin güvenilirliğini de ölçebilmesi amacıyla çalışmalar yapılmıştır.

Hücresel dönüşümlerle hata düzelten kodlar

1948 yılında yayınladığı çalışmasında Claude E. Shannon ilk kez gürültülü bir kanal üzerinden yapılan iletişim için kanal kapasitesi denilen bir kavram ortaya koydu. Shannon, eğer uygun kodlama ve dekodlama teknikleri kullanılırsa kanal kapasitesinin altında herhangi bir oranda güvenli iletişimin teorik olarak mümkün olduğunu kanıtladı. Ancak Shannon bahsedilen uygun kodlama ve dekodlama algoritmalarına ilişkin herhangi bir metot önermiyordu. Richard W. Hamming 1950 yılında Shannon’ın varlığını kanıtladığı uygun kodlama ve dekodlama yeteneğine sahip ilk kod ailesini buldu. Aynı yıl Golay tarafından da bir kod ailesi keşfedildi. Sırasıyla Hamming ve Golay kodları olarak bilinen bu iki kod ailesi (lineer blok kod) bilinen ilk hata düzelten optimal kodlardır. Hata düzelten kodlar dijital iletişim, haberleşme uyduları, uzay araştırmaları, dijital bilgi depolama gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu kodlama tekniğinin temel amacı herhangi bir bilgi kodlandıktan sonra gerek iletim esnasında gerekse depolanan bilginin geri çağrılması esnasında oluşabilecek hataları belli şartlar altında fark etmek ve hatta düzeltmektir. Bunun için temel olarak bilgi bitlerine belli sayıda kontrol bitleri eklenmektedir. Hücresel dönüşümlerle hata düzelten kodların da temel amacı diğer hata düzelten kodlarda olduğu gibi Shannon kapasitesine yakın kodlama ve dekodlama yapabilen verimli algoritmalar geliştirmektir. Bu çalışmada ilk olarak hücresel dönüşümler ve hücresel dönüşümlerle hata düzelten kodların tarihçesi hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde hücresel dönüşümlerle ilgili bilgiler zaman zaman ayrıntılı sayılabilecek biçimde sunulmuştur. Üçüncü bölümde hata düzelten kodlar ile ilgili gerekli bilgiler sıralandıktan sonra literatürde yapılan çalışmalar sunulmuştur. Dördüncü bölümde ise daha önce ikili cisim üzerinde yapılmış olan çalışmalar F_q ilkel cisimleri üzerine genellenmiştir. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır.

Sır paylaşım sistemleri

Teknolojinin gelişmesiyle birlikte günlük hayatta şifrelemenin yani güvenliğin önemi artmaktadır. Bu nedenle birçok şifreleme sistemi geliştirilmektedir. Şifreleme sitemlerinin kırılmaya karşı üst düzey şekilde geliştirilmesi anahtar güvenliğinin önemini arttırmaktadır. (Bazi sitemlerin çözülmesi bilgisayar yardımıyla bile yıllar sürebilir) Anahtar güvenliği, sistemin güvenlik derecesi olduğundan anahtar saklama yöntemleri geliştirilmiştir. İlk olarak akla gelen anahtarın kopyalanmasıdır fakat dezavantajları çoktur. İkinci olarak ise anahtarın parçalanması ve son olarakta sır paylaşım yöntemi geliştirilmiştir. Sır paylaşım sisteminin temel kurallarını kullanarak geliştirilen yöntemler üzerinde duracağımız bu tez çalışmasında ilk olarak Shamir ve Blakley `in birbirinden bağımsız olarak bulduğu interpolasyon yönteminden bahsedilecek. İkinci olarak, ilk yöntemin genellemesi olan Mceliece ve Sarwate tarafından geliştirilen Reed Solomon kodlarla birleştirilen yöntem anlatılacak. Bu yöntemin temel noktası Reed Solomon kodların kodlama şemasıdır. Kodlama teorisine girildiğinden birçok avantajı vardır. Üçüncü olarak, Çin Kalan Teorimini kullanarak geliştilen ve özel sırada tam sayı dizilerinin kullanılmasıyla inşa edilen sistemden bahsedilecek. Dördüncü olarak Massey’in geliştirdiği, lineer kod ve erişim kümesi arasında birebir eşleme yakalanarak anahtarın daha hızlı inşa edilebildiği sistemden bahsedilecek. Bu yöntem sayesinde sır paylaşım sistemi bütün lineer kodlar için uygulanabilir hale gelmiştir. Son olarakta Fractional Repetition Kod ile ilgili temel tanım ve teoremleri vereceğiz ve Fractional Repetition Kod üzerinde Sır Paylaşım Sistemini tanımlayacağız. Anahtar Kelimeler: Anahtar Saklama Yöntemleri, Sır Paylaşım Sistemi, Çin Kalan Teoremi, Erişim Kümesi, Minimal Kodsöz, Lineer Kodlar, Reed Solomon Kod, FR Kod

Poset metrik ile kodların yapısı

Kodlama Teorisi mesajların (bilgilerin) depolanması ve ya iletilmesi açısından, çalışma alanı olarak çok önemli yere sahiptir. Mesajlar bir kanaldan aktarılırken birçok hataya maruz kalabilirler. Bu durumda alıcı, gönderilenden farklı bir mesaj almış olur. Bu hataları tespit etmek ve düzeltmek için alıcı Hata Düzelten Kodlar Teorisini kullanır. Bilgilerin kodlanması ile birlikte hataların meydana geliş şekillerine paralel olarak ağırlık ve uzaklık fonksiyonları tanımlanır. Bu uzaklık fonksiyonları yardımıyla gönderilen orijinal kodlanmış bilgi (kodsözler) ile alınan mesajlar arasındaki uzaklığa bağlı olarak dekodlama yapılmaktadır. Bu fonksiyonların metrik olması cebirsel yaklaşım açısından hataların düzeltilmesini sağlar. En eski ve en çok uygulanan uzaklık fonksiyonlarından biri Hamming metriğidir. Bununla birlikte, bilgi gönderimlerinde oluşan hataların farklılığına bağlı olarak farklı uzaklık fonksiyonları tanımlanır. Lineer kodlar ile duallerinin ağırlık sayaçları arasında bir ilişki veren MacWilliams özdeşliği ilk olarak Hamming metriğine göre ispatlanmıştır. MacWilliams özdeşlikleri kodlama teorisinde önemli bir yere sahiptirler. Poset metriği özel halde iyi bilinen Hamming ile Rosenbloom-Tsfasman metriklerini içerdiğinden son zamanlarda kodlama teorisinde birçok çalışamaya kaynak oluşturmuştur. Bu tezde poset metriği incelenmiş, literatürde tanımlanan hiyerarşik posetler için ağırlık sayacı yerine P-tam ağırlık sayacı adını verdiğimiz posetin seviye detaylarını daha iyi bir şekilde kullanarak ayrık zincirli posetler üzerinde bir ağırlık sayacı tanımlanmış ve bundan faydalanarak dual poset kullanımına başvurulmadan MacWilliams özdeşliği aynı poset üzerinde ispatlanmıştır. Ayrıca, tanımlanan bu yeni tam ağırlık sayacı sayesinde özel durumlarda çok iyi bilinen Hamming ile Rosenbloom-Tsfasman metriklerini de içerdiği gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Poset, Kısmi Sıralı Küme, kod, ağırlık, MacWilliams Özdeşliği, Lineer Kodlar, Ağırlık Sayaçları

Ağ cebirsel kodları ve uygulamaları

Bilgi çağında yaşadığımız bu günlerde bilginin depolanması ve transferi sırasında meydana gelebilecek bilgi kayıplarını korumak ya da yanlış iletilmesini düzeltmek için kodlama kullanılmaktadır. Bilgi paylaşımının yapıldığı araçların başında bilgisayarlar ve donatıları gelmektedir. Bilgisayar aracılığı ile bilgi paylaşımı yapabilmek için bilgisayar ağına sahip olmak gerekir. Bilginin paylaşımı kurulan ağlarda kodlama ile gerçekleştirilir. Bu tezde öncelikli olarak ağ bağlantısı ve ağ bağlantı kodlamasının tanımı ve tarihi hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra ağ bağlantıları, çizge teorisi ve ağ bağlantı kodlaması ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Ağ bağlantı kodlamasının nasıl gerçekleştiğini anlayabilmek için ağ bağlantı kodlamasının nasıl gerçekleştiği ile ilgili ifadelere ve örneklere yer verilmiştir. Özellikle lineer ağ bağlantı kodları ve dönüşüm matrisleri tanıtılmıştır. Hangi şartlar altında ağ kodlama işleminin gerçekleşeceği ve istenilen bağlantıların sağlanacağı belirtilmiştir. Ayrıca ağ bağlantı kodlarında hata tespit etme ve düzeltme ile ilgili temel tanım ve teoremler ifade edilmiştir. Son olarak sonuç ve öneriler kısmı oluşturulmuştur. Anahtar Kelimeler: Ağ bağlantısı, ağ bağlantı kodlaması, graf teorisi, lineer kodlar, hata düzelteme, hata belirleme.