PROF. DR. HURŞİT ÖNSİPER

On the arithmetic of fibered surfaces Lifli yüzeylerin aritmetiği üzerine

Bu tezin ilk üç bölümünde aritmetik ile geometriyi birleştiren iki iddia, Tate ve Lang’ın iddiaları, özel cebirsel yüzeyler üzerinde çalışılmıştır. İlgilenilen yüzeylerin bir sayı cismi üzerinde tanımlı olduğu, düzensizliğinin iki olduğu ve eliptik bir eğri üzerinde cinsi iki olan bir liflenme kabul ettiği kabul edilmektedir. Tezin son bölümünde ise herhangi bir cebirsel varyete ile Albanese varyetesinin Picard motiflerinin eşyapılılığı ispat edilmektedir.

Algebraic curves, Hermitian lattices and hypergeometric functions Cebirsel eğriler, Hermisyen kafesler ve hipergeometrik fonksiyonlar

Bu çalışmanın amacı matematiğin iki klasik objesi, modüler grup ve mutlak Galois grubu, arasındaki ilişkiyi irdelemektir. Bu ilişki temel olarak şu şekilde özetlenebilir: mutlak Galois grubu modüler grubun sonlu indeks alt-grupları üzerine etki eder. Ancak, bu etkinin en genel halinde anlaşılmasının günümüz teknikleri ile mümkün olmadığı bir çok çalışmada ortaya komulmuştur. Bu çalışma, temel olarak, modüler grubun sonlu indeks alt-grupları kategorisinin belirli özellikleri sağlayan elemanlarını bir kafes ile temsil edilebileceğini, ve bahsedilen etkinin bu elemanlar üzerinde daha rahat anlaşılabileceğini göstermektedir. Bu elemanlar Galois etkisi altında küme bazında değişmezdirler ve etkinin elemanlar bazında açıkça yazılabileceği umudedilmektedir. Tüm bunlara ek olarak bu elemanlar küre karelemeleri vasıtası ile kombinatoriksel olarak da tarif edilebilinir. Öte yandan hipergeometrik fonksiyonlar bu kafesin elemanlarını 8 delikli rasyonel eğrilerin modüler uzayının elemanları olarak görülmesine imkan verir ki bu noktalar, tahminsel olarak, bir sayı cismi üzerinden tarif edilebilinir. Nihayi hedef kafes noktaları uzerindeki ve modüler uzay üzerindeki Galois etkisini karşılaştırmaktır.