PROF. DR. DURMUŞ BOZKURT

Bazı özel sayı tipleri ile tanımlanan Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel yapısındaki matrislerin normları için sınırlar

Bu çalışmada matris ve sayı dizisi kavramlarını birleştirdik. Bazı sayı dizilerine bağlı olan Toeplitz, Hankel, Circulant, Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel yapısındaki matrisler tanımladık ve bu matrislerin Öklid ve spektral normları için alt ve üst sınırları araştırdık. Elde edilen sınır değerleri ve gerçek norm değerlerini tablolar üzerinde kıyasladık. Ayrıca bu matrislerin determinantını, Öklid ve spektral norm değerlerini hesaplayan Maple (Maple 12) prosedürlerini verdik.

Genelleştirilmiş perrin sayı dizileri ve genelleştirilmiş sayı dizilerinin herhangi bir teriminin hesaplanması

Bu çalışmanın ilk adımında Fibonacci, Lucas ve Pell dizileri ile ilgili bazı çalışmalar Perrin dizisine uygulanmıştır. Genelleştirilmiş Perrin dizileri tanımlanmış ve bu dizinin terimlerinin matris metodu ile elde edilişi gösterilmiştir. Bu süreçte tanımlanan companion matrisinin karakteristik (ve minimal) polinomunun katsayıları incelenmiş ve bu polinomun katsayıları kullanılarak genelleştirilmiş Perrin dizisinin herhangi bir terimini veren formül elde edilmiştir. Genelleştirilmiş k-mertebeli Perrin sayılarının k-dizileri tanımlanmıştır. Bu dizilerin matris gösterimi yapılıp, bu matrisler arasındaki ilişkiler bulunmuştur. Tanımlanan matrislerin determinantı hesaplanmıştır. Sonra, genelleştirilmiş k-mertebeli Perrin sayılarının k-dizileri için tanımlanan matrisin karakteristik polinomunun katsayıları kullanılarak bu polinomun kökleri olmak üzere, Vandermonde matrisinin minörünün hesabını veren bir teorem ispatlanmıştır. Bu minör kullanılarak Cramer metodu ile genelleştirilmiş k-mertebeli Perrin sayılarının k-dizilerinin herhangi bir terimini veren formül elde edilmiştir. Bu formülün kullanılışını gösteren bir örnek eklenmiştir. Perrin dizileri için yapılan bu çalışmalar Fibonacci ve Lucas dizileri için de uygulanmış ve bu dizilerin herhangi bir terimini veren formüller geliştirilmiştir. Genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin özel bir durumu olan Pell sayılarının elde edilişi bir uygulama olarak verilmiştir.

Sayı dizilerinin genelleştirilmesi

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde günümüz bilim insanlarının ilgisini çeken Fibonacci, Pell, Lucas ve Jacobsthal sayı dizilerinin tanımları ve bilinen bazı özellikleri verilip, bu dizilerle ilgili olarak tanımlanan genelleştirilmiş sayı dizileri incelenmiştir. İkinci bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda Jacobsthal sayı dizisi genelleştirilmiş, ikinci ve üçüncü kısımda ise Fibonacci, Pell, Jacobsthal ve Lucas sayı dizilerini de kapsayacak şekilde sayı dizileri tanımlanarak, companion matrisler yardımıyla sayı dizileri matris teoriye taşınmış ve matrisler yardımıyla dizinin sağladığı özellikler incelenmiştir.

Heptadiagonal matrislerin pozitif tamsayı kuvvetlerinin hesaplanması

Bu çalışmada, genel bir Heptadiagonal matris tanımı verildi. Buna bağlı olarak belli tipteki heptadiagonal bir matrisin m inci (m?N) kuvvetinin genel ifadesi elde edildi. Yine genel ifade içinde bu tip matrislerin Jordan formu, dönüşüm matrisi ve tersi elde edilmiştir. Bunun için; H belli tipteki bir heptadiagonal matris, J bu matrisin Jordan formu ve P dönüşüm matrisi olmak üzere H^m=PJ^m P^(-1) ifadesinden yararlanılmıştır. Burada seçilen matrisin öz değerleri; kökleri x_nk=cos?(k?/(n+1)),k=(1,n) ? olarak tanımlanan U_n (x)=sin?((n+1) arccos?(x) )/sin?(arccos?(x) ) ,-1?x?1 ikinci tür Chebyshev polinomlarına bağlı olarak bulunmuştur. Anahtar Kelimeler: Chebyshev polinomları, Fark denklemleri, matris kuvveti, Pentadiagonal matrisler, Üçlü bant matrisler, Yedi bant matrisler.

Sirkülant matrislerin sayısal işaret işlemede kullanımı

Sirkülant matrisler son yıllarda nümerik hesaplamalarda, işaret işlemede, kodlama teorisinde ve petrol araştırmalarında sıklıkla kullanılmaktadır. Bu çalışmada, sayısal işaret işlemenin önemli alanlarından olan ayrık Fourier dönüşümünün (AFD) ve dairesel konvolüsyonun sirkülant matrislerle ilişkisiele alındı. Öncelikle; ayrık Fourier dönüşümü (AFD), onun özellikleri ve AFD tabanlı elde edilen hızlı Fourier dönüşümü (HFD) verildi. Daha sonra sirkülant matrislerin AFD matrisiyle köşegenleştirilmesi, sirkülant matrislerin öz değerlerinin HFD yardımıyla hesaplanması, yine bu matrisin öz vektörlerinin AFD matrisinin satır veya sütun vektörleri olduğu ve sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin HFD ile hızlı bir şekilde çözüldüğü gösterildi. Son olarak; dairesel konvolüsyon ve onun sirkülant matrislerle ilişkisi verildikten sonra bu defa sirkülantlı matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin dairesel konvolüsyon metoduyla çözüm yöntemi verildi. Bütün bu yapılanları somutlaştırmak için çalışmamız örneklerle zenginleştirildi.

Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayıları ve uygulamaları

Bu çalışmada, Horadam tarafından tanımlanmış olan Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayılarının verilen özelliklerine ek olarak bazı özellikler elde edildi. Jacobsthal sayılarının bölünebilme özellikleri verildi. Jacobsthal dizisinin matris uygulamaları için, Jacobsthal F ve M matrislerini tanımlandıktan sonra Jacobsthal sayılarının matris gösterimi elde edildi. Ek olarak, Jacobsthal Lucas E ve R matrislerini tanımlayıp, bu iki dizinin de matrisler ile bağlantısı verildi. Ayrıca, Fibonacci ve Jacobsthal dizilerinin bir genelleştirilmesi olarak k-Jacobsthal dizileri, Lucas ve Jacobsthal Lucas dizilerinin bir genelleştirilmesi olarak da k-Jacobsthal Lucas dizilerinin tanımları ve özellikleri verildi.

Bazı özel n. mertebeden matrislerin keyfi tamsayı kuvvetlerinin hesaplanması ve uygulamaları Applications and on computing of arbitrary positive integer powers for some private type of n order matri?ces

Bu çalışmada, esas köşegenin bir altındaki ve bir üstündeki köşegenler üzerindeki elemanları herhangi bir kompleks sayı ve bunlar dışındaki bütün elemanları sıfır olan sirkülant ve skew sirkülant matrislerin pozitif tamsayı kuvvetleri için genel ifadeler elde edildi. Sonuç olarak, kuvvet matrisinin herhangi bir elemanı; matrisin elemanlarına, mertebesine, istenilen kuvvetine ve Chebyshev polinomlarına bağlı olarak elde edildi. Ayrıca elde edilen bu sonuçlarla ilgili nümerik örnekler ve Maple 14 programında algoritmalar verildi.