DOÇ.DR. ÖMER GÖK

Banach uzaylarında ve Banach latislerde değişmez alt uzaylar üzerine

BANACH UZAYLARINDA VE BANACH LAT SLERDE DEĞ ŞMEZ ALT UZAYLAR ÜZER NE Elif DEM RB LEK Matematik, Yüksek Lisans Tezi Banach uzaylarında önemli sorulardan biri değişmez alt uzay problemidir. Bu probleme ait pek az olumlu netice bilinmektedir. Burada, ilk önce bu problemle ilgilenildi. Kuvvetli ve zayıf operatör topolojilerinin benzerleri olan topolojileri sunarak adjoint operatörler için değişmez alt uzay probleminin karakterizasyonuna değişik bir yaklaşım sunuldu. Lomonosov ve Branges’ in metodunu takip ederek değişmez alt uzay probleminde operatör cebirleri için çalışıldı. E bir Banach latis olmak üzere E’ den E’ ye sürekli lineer operatörlerin uzayı L(E)’ de, operatörlerin bir koleksiyonunun değişmez bıraktığı kapalı idealler üzerine duruldu. Pozitif konisi uç ışını kapsayan bir Banach latis veya birimli bir AM- uzayı üzerinde bir yarı nilpotent pozitif operatör için aşikar olmayan kapalı değişmez idealin varlığını garantileyen sonuçlar bilinmektedir. Buradaki çalışmanın ana neticelerinden biri de yarı nilpotent pozitif operatörler veya kompakt pozitif operatörlerin belli bir koleksiyonu altında değişmez kalan kapalı ideallerin varlığının elde edilmesidir. Banach latislerde sıkıştırmalı ayrıştırılabilirlik incelendi. AL veya AM- uzayı olan bir E Banach latisi için L(E)’ ye ait olan zayıf kompakt, yarı nilpotent, pozitif operatörün sıkıştırmalı ayrıştırılabilir olduğu elde edildi. Anahtar Kelimeler: Değişmez alt uzay, kapalı ideal, Banach latis, kompakt operatör, ayrıştırılabilirlik. JÜR : 1. Doç. Dr. Ömer GÖK ( Danışman ) Kabul tarihi: 05.06.2006 2. Prof. Dr. Mehmet BAYRAMOĞLU Sayfa sayısı: 33 3. Yard. Doç. Dr. Filiz KANBAY

Kuadratik sayı cisimlerinde çarpanlara ayırma, ideal sınıf grubu ve L-fonksiyonları

KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNDE ÇARPANLARA AYIRMA, İDEAL SINIF GRUBU VE L-FONKSİYONLARI Bülent KÖKLÜCE Matematik, Doktora Tezi Kuadratik sayı cisminin tamsayılar halkası TÇAB olduğunda sayılar teorisinde tamsayılar için yapılan birçok işlem bu tamlık halkalarına transfer edilebilir. Fakat maalesef cebirsel sayı cisimlerinin tamlık halkalarında her zaman çarpanlara ayrılma tamsayılardaki gibi tek türlü olmayabiliyor. Bu özelliğin yokluğunun ölçüsü sınıf sayısı olarak adlandırılır. Sayılar teorisiyle uğraşanlar bu özelliğin olmayabileceğini fark etmesinden sonra bu problemin üstesinden gelebilmek için epeyce çaba harcamışlardır. Bu çalışmalar yeni bir alanı, ideal teorisini doğurmuştur. Ondan beri ideal teorisi ve sınıf sayısı hesaplama problemi üzerine çok sayıda çalışmalar yapılmıştır. Sınıf sayısının hesaplanmasının zorluğu kriptografik uygulamalarda kuadratik sayı cisimlerinin kullanılmasını sonuç vermiştir. Bu tezde kuadratik sayı cisimlerinde çarpanlara ayırma ve ideal teorisi ele alınmıştır. İdeal sınıf gruplarının yapısı ve sınıf sayısı diye adlandırılan mertebeleri incelenmiştir. İkisi cebirsel birisi analitik olan üç farklı sınıf sayı bulma metodu ele alınmıştır. Dirichlet karakterleri ve bir kuadratik sayı cismine karşılık gelen kuadratik formlar, zeta ve L-fonksiyonları çalışılmış ve kuadratik sayı cisimleriyle bağlantılarına dair sonuçlar elde edilmiştir. Pari programının cebirsel sayı cisimleri paketinin geniş bir kısmını kaplayan kuadratik sayı cisimleriyle ilgili bölümü tanıtıldı. Her bir bölümün sonunda bölümle ilgili Pari kodları ve tezde çözülen problemlerde ve çizelgelerin oluşturulmasında kullanılan Pari programları verildi. Anahtar Kelimeler: Kuadratik sayı cisimleri, tamsayılar halkası, temel birim, Euclid bölgesi, tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölge, idealler, temel ideal bölgesi, ideal sınıf grubu, ikili kuadratik formlar, indirgenmiş formlar, sınıf sayısı, Dirichlet karakterleri, zeta fonksiyonları, L-fonksiyonları, Pari GP. JÜRİ: 1. Doç. Dr. Ömer GÖK (Danışman) Kabul Tarihi : 08.12.2005 2. Prof. Dr. Göksel AĞARGÜN Sayfa Sayısı : 130 3. Doç. Dr. Mustafa BAYRAM 4. Prof. Dr. Mehmet BAYRAMOĞLU 5. Prof. Dr. Elimhan MAHMUDOV

Banach uzaylarında lineer operatörlerin kümesinin refleksifliği

ÖZET H bir sonsuz boyutlu Hilbert uzayı ve B(H), H’den H’ye sürekli (sınırlı) lineer operatörlerin uzayı olsun. Bu çalışmada B(H)’ın sonlu boyutlu alt cebirlerinin refleksif olduğu üzerinde durulmuş, Hilbert uzayında cebirsel refleksiflilik üzerinde çalışılmıştır. Yapılan ispatlar, çarpımsal yapıya veya topolojiye bağlı olmadığından, soyut bir kümedeki dönüşümlerin lineer alt uzaylarına genişletilmiştir. Bazı neticeler, bir Banach uzayındaki sınırlı lineer dönüşümlerin sayılabilir lineer alt uzayları için, cebirsel refleksifliliğine genişletilmiştir. Bu çalışmada iki önemli genelleme yapılır. Birincisi; bir Banach uzayındaki sınırlı yerel bir cebirsel operatör, cebirseldir. Diğeri ise; bir Banach uzayındaki sınırlı cebirsel olmayan bir operatör, (topolojik olarak) cebirseldir. Ayrıca, bir uygulama verilmiştir. Bu çalışmaların sonucundan ve alt uzay teorisinden faydalanarak, bir α ⊆ B(H) refleksif lineer alt uzayının, B(H ⊕ H) in refleksif bir alt cebiri olduğu ve gerekli özellikler ile alt uzaylar oluşturmanın genelde cebirlerden daha basit olduğu söylenebilir. Cebirsel refleksiflilik özellikleri, bir α Banach cebirindeki lineer dönüşümlerin alt uzaylarını da ilgilendirir. Bu çalışmada vurgulanan diğer bir kavram ise lineer interpolasyondur. Refleksiflilik özellikleri, lineer interpolasyon özellikleri olarak da yorumlanabilir. Anahtar kelimeler: Cebirsel refleksiflilik, refleksif alt uzay, ayrıştıran vektör, sonlu rank operatörleri, lineer interpolasyon.

L- zayıf ve m-zayıf kompakt operatörler L- weakly and m-weakly compact operators

ÖZET Bu tezde, L-zayıf ve M-zayıf kompakt operatörler ve bu tur operatörlerin sınıflarının bazı özellikleriyle ilgilenilmiştir. Kompakt, zayıf kompakt, L-zayıf kompakt ve M-zayıf kompakt operatörler arasındaki bazı ilişkiler verilmiştir. Ayrıca, E’ den F’ye her düzenli M-zayıf kompakt operatörün L-zayıf kompakt ve tersi de doğru olan E ve F Banach latislerinin çifti karakterize edilmiştir. 111

Hemen hemen F-cebirleri ve D-cebirlerinin sıralı ikinci duali

Bir örgü sıralı cebirin ikinci sıralı dualinin cebirsel yapısı üzerinde çalışılmıştır. Arens çarpımı ile donatılmış bir Archimedean hemen hemen f-cebirinin sıralı sürekli sıralı ikinci dualinin yine bir hemen hemen f-cebiri olduğu ve ayrıca Archimedean hemen hemen f-cebirinin ikinci sıralı dualinin bir hemen hemen f-cebiri olduğu gösterilmiştir. Bir Archimedean f-cebirinin sıralı sürekli sıralı ikinci dualinin ve ikinci sıralı dualinin Arens çarpımına göre yine bir f-cebiri olduğu ispatlanmıştır. Bir Archimedean d-cebirinin sıralı sürekli sıralı ikinci dualinin Arens çarpımına göre bir d-cebiri olduğu elde edilmiştir. Eğer d-cebiri değişmeli ise veya pozitif karelere sahipse o zaman ikinci sıralı dualinin Arens çarpımına göre yine bir d-cebiri olduğu ve ikinci sıralı dualin değişmeli ve karelerinin pozitif olduğu gösterilmiştir.

Düzgün konveks Banach uzaylarında Daugavet denklemi The Daugavet equation in uniformly convex Banach spaces

ÖZET Bu tezde, düzgün konveks Banach uzaylarında tanımlı bîr operatörün ne zaman Daugavet denklemini sağladığı üzerinde durulmuştur. Düzgün konveks bir Banach uzayında tanımlı sürekli bir T : X -> X operatörünün |/ + T = 1 + |7| Daugavet denklemini sağlaması için gerek ve yeter koşulun; ||rjj ‘nin, T ‘nin spekturumunda yer alması olduğu gösterilmiştir. Bu sonucu kompakt operatörlere özelleştirirsek; bir düzgün konveks Banach uzaymdaki bir kompakt operatörün Daugavet denklemini sağlaması için gerek ve yeter koşul; operatörün normunun bir özdeğer olmasıdır. Diğer bir netice de, Lx(p) ve 4» (/O uzayları için Daugavet denklemindeki standart gerçeklerle tam çelişkilidir. Daha başka uzaylardaki Daugavet özelliğinin bir tartışması da bu çalışma içinde yer almaktadır. Anahtar kelimeler: Daugavet denklemi, Banach latis, düzgün konveks Banach uzayı, kompakt operatör, özdeğer vı